فرایند بهینه سازی در نرم افزار ansys workbench – محیط آزمایش (doe) – بخش اول

فرایند بهینه سازی در نرم افزار ansys workbench – محیط آزمایش (doe) – بخش اول

تعریف مفهوم طراحی آزمایش (design of experiment)

طراحی آزمایش (design of experiment) مجموعه­ ای از اقداماتی است که با استفاده از مدلسازی فرایند و متغیرهای مربوط به آن انجام می­ گیرد و منجر به افزایش بازدهی محصول مورد نظر می­ گردد. درواقع، مجموعه­ ای از پارامترهای مختلف که بر نتیجه­ یک فرایند خاص مؤثر می­ باشد، مورد تجزیه و تحلیل قرار می ­گیرد تا بهترین مقادیر ممکن برای تولید یک محصول بهینه به دست بیاید. بنابراین، هدف از طراحی آزمایش این امر است که اولاً کدام فاکتورها یا پارامترهای ورودی تأثیر قابل توجهی بر نتیجه یا محصول خروجی فرایند خواهند داشت، و ثانیاً باید چه میزان از این فاکتورها یا پارامترهای ورودی برای دستیابی به نتیجه یا محصول خروجی مورد نظر مورد استفاده قرار بگیرد.

 

تعریف مفهوم بهینه ­سازی (optimization)

فرایند بهینه ­سازی (optimization) مجموعه­ ای از اقداماتی است که برای یافتن بهترین جواب ممکن در خروجی یک فرایند با بیشترین مقدار بازدهی و کمترین مقدار هزینه­ مصرفی انجام می­ گیرد. فرایند بهینه­ سازی به موارد مختلفی مثل ماهیت خود فرایند و روش ­های حل بستگی دارد.

 

طراحی آزمایش (design of experiment) در نرم ­افزار ansys workbench

هدف از تولید محیط طراحی آزمایش ­ها  (design of experiments)، تقسیم بازه­ تغییرات فاکتورها یا پارامترهای ورودی به مقادیر مختلف از مقدار حداقل (minimum) تا مقدار حداکثر (maximum) بر اساس الگو یا طرحی معین می­ باشد که به این مقادیر، نقاط طراحی (design points) می­ گویند. سپس مجموعه ­ای از این مقادیر تعریفی یا نقاط طراحی (design points) برای هر یک از این پارامترهای ورودی در ردیف­ های مختلفی از یک جدول قرار می­ گیرند که هر یک از این ردیف­ ها دربرگیرنده­ یک فرانید حل می­ باشد و در آن ردیف، هر یک از پارامترهای ورودی با مقداری مشخص در ستون مربوطه قرار گرفته و این پارامترها به صورت همزمان فرایند حل را صورت می ­دهند. بنابراین نتیجه­ حاصل در هر یک از حل ­ها نشان دهنده­ میزان اثرگذاری همزمان و متقابل این مقادیر پارامترهای ورودی یا فاکتورها بر پارامترهای خروجی مورد نظر می­ باشد.

 

تصویر شماره­ 1 نشان دهنده­ نمونه­ ای از جدول ایجاد شده­ نقاط طراحی مربوط به یک محیط آزمایش (design points of design of experiments) می باشد. در این مثال، چهار پارامتر به عنوان پارامتر ورودی یا مستقل تحت عنوان طول (length)، شعاع (radius)، سرعت ورودی (velocity inlet) و شار حرارتی اعمالی بر روی دیواره (heat flux on wall) و دو پارامتر به عنوان پارامتر خروجی یا وابسته شامل دمای خروجی (temperature outlet) و افت فشار (pressure drop) در نظر گرفته شده است.

 

 

انواع روش ­های طراحی آزمایش (design of experiment type)

برای تولید محیط طراحی آزمایش ­ها (design of experiments) از چند روش مختلف استفاده می­ گردد؛ بدین ترتیب که این روش ­ها تعیین کننده­ نوع تقسیم ­بندی بازه ­های تغییرات مربوط به هر یک از فاکتورها یا پارامترهای ورودی می­ باشند. درواقع، هر یک از این انواع طراحی آزمایش با استفاده از روش خود، تعداد نقاط طراحی و نوع تقسیم ­بندی نقاط را نشان می­ دهند.

 

این روش­ ها در محیط ansys workbench عبارت ­اند از:

  • کامپوزیت مرکزی (central composite design) یا همان CCD
  • باکس بنکن (box-behnken design) یا همان BBD
  • متداول (custom)
  • متداول به همراه نمونه برداری (custom+sampling)
  • فضاپرکنی بهینه (optimal space-filling design)
  • مقداردهی اولیه­ شبکه­ پراکنده (sparse grid initialization)
  • مدل نمونه برداری فرامکعبی لاتین (latin hypercube sampling design)

 

طبیعتاً هر چه تعداد نقاط طراحی تولیدی بیشتر باشد، فرایند حل از نظر زمانی طولان ی­تر شده و هزینه­ محاسباتی را بالا می ­برد؛ اما از سوی دیگر، می تواند موجب افزایش دقت در فرایند بهینه­ سازی گردد. همچنین تعداد پارامترها یا متغیرهای ورودی بر تولید طراحی آزمایش (DOE) و روش سطح پاسخ (RSM) اثرگذار خواهد بود؛ به طوری که افزایش تعداد متغیرهای ورودی تعریف شده موجب طولانی­ تر شدن زمان تولید محیط آزمایش می­ شود، و همچنین کار را برای ایجاد سطح پاسخی دقیق سخت خوهد کرد، زیرا سطوح پاسخ وابسته به رابطه­ بین متغیرهای ورودی و پارامترهای خروجی می­ باشد و طبیعتاً هر چه تعداد پارامترهای ورودی تعریف شده بیشتر باشد، سطوح پاسخ به صورت مشکل ­تری می ­تواند تعیین نماید که این متغیرهای ورودی چه میزان بر روی پارامترهای خروجی اثرگذار خواهند بود. لذا توصیه می­ شود که هر یک از روش ­های تولید محیط آزمایش تا جای ممکن از پارامترهای ورودی کمتری استفاده کنند.

از این­ رو، برای تعیین تعداد پارامترهای ورودی محدودیت­ هایی وجود دارد. به عنوان مثال، روش طراحی کامپوزیت مرکزی (CCD) دارای محدودیت تا تعداد 20 پارامتر ورودی، روش طراحی باکس بنکن (BBD) دارای محدودیت تا تعداد 12 پارامتر ورودی، روش ­های طراحی نمونه ­برداری فرامکعبی لاتین (LHS) و فضاپرکنی بهینه (OSF) دارای محدودیت تا 20 پارامتر ورودی می ­باشند.

حال اگر تعداد پارمترهای ورودی تعریفی از حد مجاز بیشتر گردد، سیستم پیام هشداری را برای کاهش پارامترهای ورودی می­ دهد که در این صورت باید بعضی از پارامترهای ورودی را غیرفعال کرد. پس باید پارامترهای دارای اثرگذاری کمتر غیرفعال شوند و اگر چنانچه تعیین پارامترهای کم ­اهمیت ­تر برای غیرفعال کردن سخت بود، باید از سیستم همبستگی پارامتری (parameters correlation system) کمک گرفت تا پارامترهای دارای همبستگی پایین­ تر انتخاب گردند.

 

تصویر شماره­ 2 نشان دهنده­ انواع مدل ایجاد محیط آزمایش (design of experiments type) در نرم­ افزار ansys workbench می ­باشد.

 

 

مفهوم معادله­ رگرسیون (regression equation)

مدل رگرسیون (regression model) یک نوع مدل آماری است که براساس آن می­ توان مقدار یک متغیر را براساس تغییرات یک یا چند پارامتر ورودی تخمین زد؛ بدین معنا که می­توان میزان اثرگذاری هر یک از پارامترها یا متغیرهای ورودی را بر روی یک پارامتر یا متغیر خروجی به دست آورد. درواقع اگر فرض کنیم که پارامترها یا متغیرهای ورودی را با عنوان Xn و متغیر خروجی مورد نظر را با عنوان Y داشته باشیم، می­ توان مجموعه­ ای از نقاط طراحی نمونه به دست آمده از فرایند حل یا آزمایش را به صورت (Y,Xn) در قالب یک نمودار ترسیم کرد. بنابراین، باید یک معادله­ رگرسیون خطی (linear regression) را برای پیش بینی مقدار یک متغیر وابسته از روی تغییرات یک یا چند متغیر مستقل تخمین زد. اگر فرض شود که متغیر Y بر اساس تغییرات هر یک از متغیرات ورودی X به دست م ی­آید، معادله ­ای به فرم زیر حاصل می ­شود که در آن هر یک از متغیرهای مستقل در ضریبی ضرب می ­شوند و به علاوه­ یک مقدار ثابت می شود که این ضرایب و این مقدار ثابت از فرایند تخمین به دست می­ آید. همچنین Ԑ بیانگر میزان خطای معادله می­ باشد که همان میزان اختلاف بین مقدار پارامتر خروجی حاصل از معادله­ خطی فرضی در مقدار مشخصی از پارامتر ورودی با مقدار پارامتر خروجی حاصل از آزمایش در همان نقطه­ طراحی می باشد.

 

معادله­ زیر بیانگر یک معادله­ رگرسیون (regression) چندگانه­ خطی می­ باشد:

 

 

تصویر شماره­ 3 نشان­ دهنده­ یک تابع رگرسیون (regression) خطی ساده می­ باشد که مقدار متغیر خروجی Y فقط تابعی از یک متغیر ورودی X می­ باشد و خط شیب­دار ترسیمی بیانگر تابع تخمینی برای پیش ­بینی نقاط طراحی می­ باشد.

 

 

فرایند تخمین سعی می­ کند که ضرایب معادله­ رگرسیون (regression) را به گونه­ ای تخمین بزند که وقتی این مقادیر در معادله جایگذاری شوند، مقدار پارامترهای خروجی در هر یک از نقاط طراحی با داده­ های موجود (نقاط طراحی به دست آمده از فرایند حل یا آزمایش) نزدیک­ترین همخوانی را داشته باشد. درواقع، باید این ضرایب دارای مقادیری باشد که وقتی در معادله­ حاصل از آن، مقدار هر یک از مقادیر پارامترهای ورودی را قرار دادیم، نتیجه­ مقدار پارامتر خروجی حاصل از معادله با مقدار پارامتر خروجی به دست آمده در طی فرایند حل در همان مقدار پارامتر ورودی، دارای کمترین اختلاف باشد.

یکی از روش­ های متداول فرایند تخمین، استفاده از روش کمترین مربعات خطا است که در آن باید مجموع مربعات تفاضل مقادیر تخمینی معادله از مقادیر به دست آمده از حل نرم ­افزار، کمینه یا حداقل گردد. بدین ترتیب که معادله­ بالا را برای مقدار خطا (Ԑ) بر حسب پارامتر خروجی Y و پارامتر ورودی X می نویسیم، سپس آن را به توان دو رسانده و مشتق آن را بر حسب ضرایب معادله می­نویسیم تا پس از انجام فرایند ریاضیاتی لازم، به یک معادله­ مناسب با ضرایب تخمینی مناسب با کمترین خطای ممکن دست بیابیم.

بنابراین، در محیط طراحی آزمایش (design of experiment) از روش­ های مختلفی برای تقسیم ­بندی هر یک از پارامترهای ورودی مستقل استفاده می شود که این امر موجب ایجاد مدل خاصی از نقاط طراحی (design points) می­ شود و درنتیجه پیش ­بینی معادله­ تغییرات یک پارامتر خروجی بر حسب یک یا چند پارامتر ورودی متفاوت خواهد بود.

 

 

معرفی مدل کامپوزیت مرکزی (central composite design or CCD)

مدل طراحی کامپوزیت مرکزی (CCD) دارای پنج سطح (level) برای تقسیم­ بندی حالت­ های مختلف فاکتورها یا پارمترهای ورودی می­ باشد. پنج سطح شامل –𝛂 , -1 , 0 , +1 , +𝛂 می­باشد که سطح +𝛂 و –𝛂 به ترتیب معادل مقدار ماکزیموم و مینیموم هر پارامتر ورودی می­ باشد و سطح 0 معادل مقدار میانی آن پارامتر محسوب می­ شود. بنابراین، هر یک از پارامترهای ورودی بین مقادیر ماکزیموم و مینیموم خود به پنج قسمت یا سطح تقسیم می­ شود.

تعداد حالت­ های تقسیم­ بندی شده در مدل حاضر از رابطه­ زیر به دست می­ آید که در این رابطه k نماد تعداد پارامترهای ورودی یا همان فاکتورها می باشد. مطابق فرمول زیر، عدد 1 بیانگر تنها حالتی است که همه­ فاکتورها دارای مقدار میانی خود (همان level 0) هستند، عبارت 2k بیانگر حالت­ هایی است که در آن، مقدار ماکزیموم و مینیموم هر پارامتر (همان level +𝛂 یا level -𝛂) با مقدار میانی ثابت بقیه­ پارامترها در نظر گرفته می ­شود، و 2(k-f) بیانگر کل تعداد حالت­ هایی هست که پارامترها دارای مقادیری بین حالت ماکزیموم یا مینیموم و حالت میانی (همان level +1 یا level -1) می­ باشند.

 

 

لازم به ذکر است که عبارت فاکتوریل f صرفاً مقداری برای محدود کردن تعداد نقاط طراحی به یک تعداد منطقی و برای ممانعت از افزایش بیش از حد تعداد نقاط طراحی می­ باشد که مقدار آن براساس تعداد پارامترهای ورودی در جدول زیر آمده است. این جدول برای حداکثر تعداد پارامتر ورودی ممکن یعنی 20 پارامتر نوشته شده و تعداد نقاط طراحی را برای هر دو حالت با ثابت فاکتوریل و بدون ثابت فاکتوریل ارائه داده است. البته نرم ­افزار ansys workbench نیز از حالتی که دارای فاکتوریل محدود کننده­ f می ­باشد، برای تعیین تعداد نقاط طراحی استفاده می­ کند. بنابراین طبق فرمول، مدل ­های دو فاکتوری دارای 9 حالت تقسیم­ بندی شده، سه فاکتوری دارای 15 حالت، چهار فاکتوری دارای 25 حالت و ….. می­ باشند.

 

 

شکل شماره­ 4 نشان دهنده­ نمونه ­ای از یک مدل دارای دو فاکتور یا پارامتر ورودی می­ باشد. نقطه­ی میانی همان level 0 می­ باشد که بیانگر همان تک حالتی است که همه­ پارامترها دارای مقدار میانی خود هستند، نقاط قرمز ستاره ­ای همان level +𝛂 و level –𝛂 یا همان نقاط ماکزیموم و مینیموم مربوط به دو فاکتور هست که معادل ترم 2k=2*2=4 می ­باشد، و نقاط دایره­ ای آبی بیانگر همان level +1 و level -1 مربوط به دو فاکتور هست که بیانگر همان ترم 2(k-f)=22=4 می­ باشد. مجموعه­ این حالت ­ها برای مدل دو فاکتوری مذکور مطابق شکل زیر، برابر با 1+4+4=9 می­ باشد.

 

 

به عبارتی دیگر، می­ توان گفت که در مدل کامپوزیت مرکزی (CCD)، یک نقطه­ مرکزی در وسط فضای پارامترهای ورودی قرار دارد، تعداد 2*k نقطه­ تحت عنوان نقاط محوری بر روی محورهای مختص به هر یک از پارامترهای ورودی قرار دارد که همان نقاط +𝛂 و –𝛂 می­ باشند، و تعداد 2^(k-f) نقطه­ تحت عنوان نقاط فاکتوریلی روی قطرهای فضای پارامترهای ورودی قرار دارند که همان نقاط +1 و -1 می ­باشند.

 

شکل 5 نشان دهنده­ دو نمونه از یک مدل کامپوزیت مرکزی (CCD) می ­باشد که شکل سمت چپ معادل با فضای مخصوص نقاط طراحی برای مدل دارای دو فاکتور یا پارامتر ورودی و شکل سمت راست معادل با فضای مخصوص نقاط طراحی برای مدل دارای سه فاکتور یا پارامتر ورودی می ­باشد. همان­طور که شکل نشان می­ دهد، هر محور به پنج بخش تقسیم شده و تعداد نقاط طراحی برای حالت دو فاکتوری برابر 9 و برای حالت سه فاکتوری برابر 15 می باشد.

 

 

به عنوان مثال، فرض کنیم که سه پارامتر یا متغیر ورودی شامل طول (length)، شعاع (radius) و سرعت ورودی (velocity inlet) به عنوان نقاط طراحی وجود داشته باشد که اثرات تغییرات آنها بر روی پارامتر خروجی که افت فشار می ­باشد، مورد بررسی قرار می­ گیرد و از مدل طراحی کامپوزیت مرکزی استفاده شده است. تصویر شماره­ 6 نشان دهنده­ جدول نقاط طراحی ایجادی برای هر پارامتر ورودی می­ باشد.

 

 

همان­ طور که در تصویر بالا مشخص است، بازه­ تغییرات تعریفی برای پارامتر هندسی طول از 720 mm تا 880 mm، بازه­ تغییرات پارامتر هندسی شعاع از 90 mm تا 110 mm، و بازه­­ تغییرات پارامتر عملکردی سرعت جریان ورودی از 0.0009 m.s-1 تا 0.0011 m.s-1 می ­باشد. پس مقدار میانی برای پارامتر طول برابر 800 mm، برای پارامتر شعاع برابر 100 mm، و برای سرعت برابر 0.001 m.s-1 می­ باشد. بنابراین، نقاط ماکزیموم و مینیموم هر بازه معادل سطوح +𝛂 و –𝛂 می­ باشد، نقاط مرکزی هر بازه معادل با سطوح 0 می ­باشد، و مقادیر موجود بین این سطوح میانی و سطوح ماکزیموم یا مینیموم معادل با سطوح +1 و -1 می ­باشد.

 

مزیت اصلی مدل کامپوزیت مرکزی (CCD) در این موارد است:

  • تخمین یا پیش ­بینی واریانس برای هر دو نقطه ­ای که در فاصله­ یکسانی از مرکز طراحی می ­باشند، یکسان می ­باشد؛ یعنی مطابق شکل، تمام نقاط نمونه در فاصله­ یکسانی از مرکز طراحی یا نقطه­ میانی قرار داشته و دارای واریانس یا انحراف یکسان می­ باشند.

در حالی که دو معیار به عنوان نقطه­ ضعف در مدل کامپوزیت مرکزی (CCD) جهت تنظیم یک طراحی بهینه وجود دارد که شامل این دو مورد است:

  • اول این که درجه غیرتعامدی (non-orthogonality) ترم ­های رگرسیون (همان شدت همخطی) می­تواند واریانس ضرایب مدل را بزرگ یا متورم نماید.
  • دوم این که موقعیت نقاط نمونه (sample points) در طرح می­ تواند براساس موقعیتشان نسبت به سایر متغیرهای ورودی در زیرمجموعه ­ای از کل مجموعه­ داده ­های مشاهده شده تأثیرگذار باشد.

جهت رفع دو مشکل این مدل از طراحی محیط باید این گونه عمل کرد:

  • برای به حداقل رساندن درجه­ نامتعامدی (یا همان افزایش تعامد)، از عامل تورم واریانس ترم­ های رگرسیون (variance inflation favtor or VIF) استفاده شده است. بنابراین، برای رفع مشکل افزایش واریانس ضرایب مدل ناشی از درجه­ غیرتعامدی، می­ توان از بهینه­ سازی به روش عامل تورم واریانس (VIF-optimality) استفاده کرد؛ بدین صورت که مقدار عامل تورم واریانس ماکزیموم باید به مقدار کمینه برسد یا درواقع درجه­ نامتعامدی را کمینه نماید. کمترین مقداری که عامل تورم واریانس می­ تواند به خود بگیرد، برابر با 1 خواهد بود.
  • برای به حداقل رساندن فرصت نقاط نمونه­ اثرگذار، یک مقدار مقدار اهرمی (leverage value) برای هر یک از نقاط نمونه لحاظ می­ شود که این مقدار اهرمی به صورت المان­ های قطری یک ماتریس می­ باشد. در روش بهینه­ سازی نوع جی (G-optimality)، ماکزیموم مقدار اهرمی نقاط نمونه به مقدار کمینه­ خود می­ رسد.

بنابراین، در بهینه­ سازی نوع عامل تورم واریانس (VIF-optimality)، مقدار 𝛂 به گونه ­ای انتخاب می­ شود که ماکزیموم عامل تورم واریانس (maximum variance inflation factor) کمینه باشد، و در بهینه ­سازی نوع جی (G-optimality)، مقدار 𝛂 به گونه ­ای انتخاب می ­شود که ماکزیموم مقدار اهرمی (leverage value) کمینه باشد. بنابراین، طراحی قابل گردش (rotatable) یک طراحی ضعیف در ترم­ های اثرگذاری VIF و G خواهد بود.

در رابطه با مدل ­های طراحی مذکور، در صفحات بعدی توضیح داده خواهد شد.

 

مفهوم تعامد (orthogonality)

تعامد (orthogonality) درجه ­ای است که بیان می­کند اثرات اصلی (یعنی اثر مستقیم و مستقل یک پارامتر ورودی بر پارامتر خروجی) و اثرات متقابل (یعنی اثرات همزمان دو یا چند پارامتر ورودی بر پارامتر خروجی) چه میزان نسبت به یک­ دیگر وابستگی دارند.

به عنوان مثال، الگوی زیر نشان دهنده­ برقراری غیرتعامد (non-orthogonality) می­ باشد؛ زیرا هر یک از دو پارامتر ورودی، فقط اثرات ترکیبی یا متقابلشان با یک ­دیگر سنجیده می ­شود. همان­ طور که مشخص است، دو فرایند حل دارای مقادیر متفاوتی از دو پارامتر ورودی می ­باشند.

 

 

در حالی که الگوی زیر نشان دهنده­ برقراری تعامد (orthogonality) می ­باشد؛ زیرا اثرات مستقل هر یک از پارامترهای ورودی (به صورت غیروابسته به پارامتر ورودی دیگر) سنجیده می ­شود. همان­طور که مشخص است، برای هر یک از دو پارامتر ورودی، یک مقدار ثابت از آن پارامتر با دو مقدار متفاوت از پارامتر دیگری در قالب دو فرایند حل جدا در نظر گرفته می­ شود. بدین ترتیب، وقتی یک پارامتر را برابر مقدار ثابت قرار داده و پارامتر دیگر را تغییر می ­دهیم و فرایند حل را صورت می­ دهیم، می­ توانیم اثر مستقیم و غیروابسته­ آن پارامتر را به خوبی بسنجیم.

 

 

مفهوم مقدار اهرمی (leverage)

مقدار اهرم (leverage) بیانگر فرصتی که در آن، نقاط نمونه (sample points) اثرات غیرنرمال بر روی خروجی فرایند حل می گذارند. به عنوان مثال، اگر نقطه­ نمونه­ تعریف شده، از نظر یک پارامتر ورودی دارای اندازه­ خیلی زیادی در مقایسه با پارامتر ورودی دیگری بود، به طوری که بتوان اندازه­ آن پارامتر دیگر را در آن نقطه نادیده در نظر گرفت، موجب می­ شود که مدل رگرسیون تخمین زده مطابق این نقاط طراحی، از مجاورت ناحیه­ خاص مرتبط با آن پارامتر دارای مقدار بزرگ عبور نماید. لذا از حالتی تحت عنوان اهرم یا وزنه استفاده می­ شود تا این اثرات را کاهش بدهد.

 

پس از بحث درمورد تعداد نقاط طراحی نقسیم­ بندی شده در مدل کامپوزیت مرکزی (CCD)، باید به بحث در مورد چگونگی تعیین مقدار 𝛂 پرداخت. در این مدل طراحی، مقدار 𝛂 مطابق با نوع مدل کامپزیت مرکزی انتخابی تعیین می­ گردد. مدل طراحی کامپوزیت مرکزی دارای انواع مختلف می­ باشد که عبارتند از:

  • مرکز صفحه ­ای (face-centered)
  • قابل گردشی (rotatable)
  • بهینگی عامل تورم واریانس (vif-optimality)
  • بهینگی جی (g-optimality)
  • حالت مقداردهی خودکار (auto defined)

 

تصویر شماره­ 7 نشان دهنده­ انواع مدل­ های کامپوزیت مرکزی (central composite design type) در نرم ­افزار ansysworkbench می ­باشد.

 

 

نوع مرکز صفحه ­ای (face-centered)

در مدل کامپوزیت مرکزی از نوع مرکز صفحه ­ای (face-centered)، مقدار 𝛂 برابر 1 در نظر گرفته می­شود؛ یعنی level +𝛂 و level –𝛂 به ترتیب برابر همان level +1 و level -1 می­ باشند و level 0 نیز دارای مقداری وسط دو مقدار ماکزیموم و مینیموم می­ باشد. درواقع می­توانیم بگوییم که این نوع دارای سه سطح برای تقسیم ­بندی هر یک از پارامترهای ورودی می­ باشد.

 

به عنوان مثال، فرض کنید یک پارامتر ورودی دارای مقدار ماکزیموم و مینیموم به ترتیب برابر 90 و 110 می ­باشد. از این­رو، مقادیر 90 و 110 به ترتیب بیانگر level –𝛂 و level +𝛂 و یا همان level +1 و level -1 می ­باشد و مقدار میانی این بازه یعنی 100 نیز بیانگر level 0 می­ باشد.

 

 

حال فرض کنیم که مطابق الگوی بالا، مثالی داریم که پارامتر شعاع تعریف شده در جدول محیط طراحی آزمایش، دارای بازه­ ای از تغییرات از 90 mm تا 110 mm باشد و از روش مرکز صفحه ­ای استفاده شده باشد. تصویر شماره­ 8 نشان دهنده­ جدول ایجاد شده در محیط نرم ­افزار ansys workbench می ­باشد.

 

 

نوع قابل گردشی (rotatable)

برای محاسبه­ مقدار 𝛂 در مدل طراحی نوع قابل گرشی (rotatable) باید از فرمول زیر استفاده کرد که در آن، k بیانگر تعداد پارامترها یا فاکتورهای ورودی می­ باشد. بدین ترتیب، مقدار 𝛂 برای حالت دو فاکتوری برابر 1.414، برای حالت سه فاکتوری برابر 1.681، برای حالت چهار فاکتوری برابر 2 و ….. می ­باشد.

 

به عنوان مثال، فرض کنید یک پارامتر ورودی دارای مقدار ماکزیموم و مینیموم به ترتیب برابر 90 و 110 می­ باشد. از این ­رو، مقدار 90 و 110 به ترتیب بیانگر level –𝛂 و level +𝛂 می ­باشد و مقدار میانی این بازه یعنی 100 نیز بیانگر level 0 می ­باشد. از آنجایی که مدل حاضر دارای سه پارامتر ورودی می ­باشد، مقدار 𝛂 برابر (2)3/4 = 1.681 می­ باشد. بنابراین، مقادیر مربوط به level +1 و level -1 نیز به صورت زیر با استفاده از میان­ یابی بین 0 تا 1.681 و 0 تا -1.681 به دست می ­آید.

 

 

حال فرض کنیم که مطابق الگوی بالا، مثالی داریم که پارامتر شعاع تعریف شده در جدول محیط طراحی آزمایش، دارای بازه ­ای از تغییرات از 90 mm تا 110 mm باشد و از روش قابل گردشی استفاده شده باشد. تصویر شماره­ 9 نشان دهنده­ جدول ایجاد شده در محیط نرم­ افزار ansys workbench می­ باشد.

 

 

تفاوت بین دو مدل مرکز صفحه ­ای (face-centered) و قابل گردشی (rotatable):

  • مدل مرکز صفحه ­ای (face-centered) دارای سه سطح (level) تقسیم ­بندی برای نقاط طراحی می ­باشد، الگوی جانمائی نقاط طراحی دارای شکل دوار نیست، و مزیت آن در این است که نقاط نمونه­­ (sample point) طراحی آن در تمام گوشه ­ها یا کنج­ ها و در تمام طرفین قرار می ­گیرد.
  • مدل قابل گردشی (rotatable) دارای پنج سطح (level) تقسیم­ بندی برای نقاط طراحی می ­باشد، الگوی جانمائی نقاط طراحی دارای شکل دوار است، نقطه­ ضعف آن در این است که نقاط نمونه­ (sample design) طراحی آن در کنج ­ها قرار ندارد، و مزیت آن در این است که واریانس پیش­ بینی شده برای هر دو نقطه­ نمونه­ طراحی که در فاصله­ یکسان از نقطه­ مرکزی طراحی قرار داشته باشند، برابر می ­باشد.

 

 

نوع بهینگی عامل تورم واریانس (VIF-optimality)

مدل بهینگی فاکتور تورم واریانس (VIF) دارای پنج سطح پاسخ برای هر پارامتر ورودی می ­باشد. در این مدل مقدار 𝛂 محاسبه می­ شود بر مبنای کمینه کردن مقدار غیرتعامدی (non-orthogonality) که تحت عنوان فاکتور تورم واریانس (variance inflation factor) شناخته می ­شود. درواقع همان­ طور که پیش از این گفته شد، این روش از کامپوزیت مرکزی برای تکمیل مدل طراحی کامپوزیت مرکزی (CCD) از حیث بیشینه کردن میزان تعامد (orthogonality) می­ باشد.

 

مفهوم عامل تورم واریانس (VIF)

همان­ طور که پیش از این گفته شد، یک معادله رگرسیون (regression equation) برای چند متغیر مرتبط با یک مدل، بیانگر رابطه­ متغیرهای مستقل یا همان پارامترهای ورودی با یک متغیر وابسته یا همان پارامتر خروجی می­ باشد. درنتیجه رابطه­ خطی ساده یا چندگانه­ ای بین یک یا چند متغیر مستقل با یک متغیر وابسته­ مورد نظر ایجاد می­ شود؛ اما طبیعتاً این معادله­ تخمین زده شده نسبت به مقادیر واقعی دارای اختلافات یا خطاهایی می­ باشد. بنابراین، اساس کار در معادله­ رگرسیون خطی، کمینه سازی مجموع مربعات خطا می­ باشد. از این ­رو، معادله­ رگرسیونی که کمترین میزان مربعات خطا را داشته باشد، بهترین گزینه برای نمایش مدل ارتباطی بین متغیرهای مستقل و وابسته است.

انتظار می رود که تغییرات به وجود آمده در متغیر وابسته در اثر مدل رگرسیونی پیش بینی گردد. سهمی که مدل رگرسیونی از تغییرات متغیر وابسته دارد را با مربع R (R-squared) می شناسند که به آن ضریب تعیین (coefficient of determination) نیز می گویند. پس R2 تعیین می ­کند که درصد تغییرات یک متغیر وابسته توسط هر یک از متغیرهای مستقل چه میزان است.

حال اگر بین خود پارامترهای مستقل نیز رابطه برقرار باشد، یعنی یک پارامتر مستقل خود به صورت رابطه­ ای خطی بر حسب سایر پارمترهای مستقل باشد، به آن پدیده­ هم­خطی چندگانه (multi-collinearity) می­ گویند. در این صورت روش رگرسیون دارای جواب­ های معتبری نیست؛ زیرا ضرایب تخمین زده شده در معادله­ رگرسیون نسبت به داده­ های نرم ­افزاری دارای واریانس و انحراف زیادی می­ باشند. پس برای تشخیص مقدار انحراف یا اعتبار نتایج رگرسیون خطی، می­توان از شاخصی تحت عنوان عامل تورم واریانس (VIF) استفاده کرد. این شاخص بیانگر میزان شدت هم­خطی مدل رگرسیون است؛ بدین معنا که این شاخص بیان می ­کند که ضرایب برآورد شده در رگرسیون خطی چه مقدار نسبت به حالتی که هیچ پدیده­ هم­خطی­ وجود ندارد، دارای انحراف می ­باشد یا اصطلاحاً چه میزان نسبت به آن حالت متورم یا دچار افزایش شده است.

برای محاسبه­ این شاخص فقط از متغیرهای مستقل استفاده می شود. بدین ترتیب که ضریب تعیین مربوط به یک متغیر مستقل، براساس معادله­ رگرسیون آن متغیر با سایر متغیرهای مستقل، با استفاده از رویه­ کمترین مربعات خطا به دست می آید. حال مقدار عامل تورم واریانس (VIF) برابر با معکوس تفاضل عدد یک از ضرایب تعیین هر یک از متغیرهای ورودی نسبت سایر متغیرهای ورودی می ­باشد. معادله­ زیر تعیین کننده­ مقدار شاخص تورم واریانس متغیر i براساس رویه­ کمینه مربعات خطای معادلات آن رگرسیون با دیگر متغیرها (j’s) می ­باشد.

 

بنابراین، واضح است که هر چه تعداد و میزان همبستگی یک متغیر مستقل با دیگر متغیرهای مستقل در قالب معادله­ رگرسیون بیشتر شود (اندازه و تعداد Rj2 بیشتر گردد)، طبق فرمول فوق، مقدار VIF آن متغیر افزایش می­ یابد. درواقع از آنجایی که افزایش همبستگی (correlation) بین خود متغیرهای مستقل موجب تقویت پدیده­ هم­خطی (collinearity) می گردد، مقدار عامل تورم واریانس نیز افزایش می ­یابد.

 

به عنوان مثال، فرض کنید یک پارامتر ورودی دارای مقدار ماکزیموم و مینیموم به ترتیب برابر 90 و 110 می­ باشد. از این­ رو، مقدار 90 و 110 به ترتیب بیانگر level –𝛂 و level +𝛂 می­ باشد و مقدار میانی این بازه یعنی 100 نیز بیانگر level 0 می­ باشد. از آنجایی که مدل حاضر دارای سه پارامتر ورودی می­ باشد، مقدار 𝛂 طبق فرمول عامل فاکتور واریانس معادل 1.23 می­ باشد. مقادیر مربوط به level +1 و level -1 نیز به صورت زیر با استفاده از میان­ یابی به دست می ­آید.

 

 

حال فرض کنیم که مطابق الگوی بالا، مثالی داریم که پارامتر شعاع تعریف شده در جدول محیط طراحی آزمایش، دارای بازه ­ای از تغییرات از 90 mm تا 110 mm باشد و از روش بهینگی عامل تورم واریانس استفاده شده باشد. تصویر شماره­ 10 نشان دهنده­ جدول ایجاد شده از محیط آزمایش در محیط نرم ­افزار ansys workbench می­ باشد.

 

 

مدل بهینگی جی (G-optimality)

مدل بهینگی جی (G-optimality) می ­تواند مقدار خطای مورد انتظار براساس پیش­ بینی را به حداقل برساند و همچنین بزرگ­ ترین واریانس مورد انتظار در محدوده­ مورد نظر طبق پیش ­بینی را به حداقل برساند. درواقع همان ­طور که پیش از این گفته شد، این روش از کامپوزیت مرکزی برای تکمیل مدل طراحی کامپوزیت مرکزی (CCD) از حیث کمینه کردن مقدار اهرمی (leverage) می­ باشد.

 

به عنوان مثال، فرض کنید یک پارامتر ورودی دارای مقدار ماکزیموم و مینیموم به ترتیب برابر 90 و 110 می­ باشد. از این­ رو، مقدار 90 و 110 به ترتیب بیانگر level –𝛂 و level +𝛂 می­ باشد و مقدار میانی این بازه یعنی 100 نیز بیانگر level 0 می ­باشد. از آنجایی که مدل حاضر دارای سه پارامتر ورودی می­ باشد، مقدار 𝛂 معادل 2.06 می ­باشد. مقادیر مربوط به level +1 و level -1 نیز به صورت زیر با استفاده از میان ­یابی به دست می ­آید.

 

 

حال فرض کنیم که مطابق الگوی بالا، مثالی داریم که پارامتر شعاع تعریف شده در جدول محیط طراحی آزمایش، دارای بازه ­ای از تغییرات از 90 mm تا 110 mm باشد و از روش بهینگی جی استفاده شده باشد. تصویر شماره­ 11 نشان دهنده­ جدول ایجاد شده در محیط نرم ­افزار ansys workbench می­ باشد.

 

 

حالت تنظیم خوردکار (auto-defined)

در حالت تنظیم خودکار (auto-defined)، نرم­ افزار به طور خودکار مناسب­ ترین مدل طراحی کامپوزیت مرکزی (CCD) را با توجه­ به تعداد متغیرها یا پارامترهای ورودی انتخاب می­ کند که معمولاً از بین دو مدل G-optimaity و VIF-opotimality می­ باشد. توصیه می­ شود که از همین حالت انتخاب خودکار نرم ­افزار استفاده شود، اما در صورتی که مقادیر تقسیم­ بندی شده­ی پارمترهای ورودی تناسب خوبی با نمودار سطوح پاسخ تولیدی (response surface) نشان نداد، بهتر است که از حالت قابل گردش (rotatable) استفاده گردد.

 

تصویر شماره­ 12 نشان دهنده­ یک فضای مخصوص نقاط طراحی برای مدلی با دو پارامتر ورودی می­ باشد که به طور همزمان، نقاط طراحی براساس الگوهای مختلف مربوط به روش کامپوزیت مرکزی (CCD) جانمائی شده ­اند. این الگوها شامل صفحه­ مرکزی (face-centered)، قابل گردشی (rotatable)، بهینگی عامل تورم واریانس (VIF-optimality) و بهینگی جی (G-optimality) می ­باشد. با استفاده از این تصویر می­ توان نحوه­ توزیع نقاط طراحی (design points) را در فضای دو پارامتری مقایسه کرد.

 

 

ارسال دیدگاه

پیگیری سفارش
لیست مقایسه
شگفت انگیز ها
logo-samandehi