1- مقدمه ای بر انتقال حرارت هدایت (فوریه‌ای)

انتقال حرارت هدایت (هدایت فوریه‌ای) گونه‌ای از انتقال حرارت اطلاق می‌شود که در آن گرادیان دما (اختلاف دمای بین محیط سرد و گرم) عامل جابه‌جایی شار حرارتی می‌باشد. این نوع انتقال حرارت می‌تواند بسته به نوع سیال و محیط پیرامون متفاوت باشد. به‌طور مثال در یک فلز رسانا انتقال حرارت بسیار سریع‌تر از چوب رخ می‌دهد و یا در فصل زمستان وزش باد گرم به داخل خانه بیشتر خود را نشان می‌دهد.

ازآنجاکه انتقال حرارت فوریه‌ای اولین بار توسط فوریه معرفی شد (پیش از او فرآیند انتقال حرارت کاتوره‌ای تئوری مطرح بود) لذا نام او بر قانون انتقال شار هدایتی باقی ماند. برخلاف باورها این قانون اثبات هیچ‌گونه اثبات ریاضیاتی ندارد و همانند قانون تنش برشی نیوتونی و یا قانون اول ترمودینامیک به‌عنوان یک اصل پذیرفته‌شده است. همان‌طور که از معادله حاکم بر مشخص است این انتقال حرارت وابسته به گرادیان دما و یک ضریب ثابت می‌باشد. به ضریب ثابت اصطلاحاً ثابت هدایت حرارتی اطلاق می‌شود. این ضریب به عواملی ازجمله دما جنس ماده دما و… وابسته است.

معادله (1)

معادله هدایت حرارت فوریه‌ای بخشی از معادله انرژی می‌باشد. نرم‌افزار انسیس فلوئنت معادله‌ی هدایت حرارتی فوریه‌ای موجود در معادله انرژی را به فرم زیر استفاده می‌کند:

معادله (2)

در معادله بالا  به آنتالپی اطلاق می‌شود که خود به‌صورت تابعی از دما است و به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

معادله (3)

2- انتقال حرارت هدایت پوسته‌ای

انتقال حرارت هدایت (فوریه‌ای) در نرم‌افزار انسیس فلوئنت در پهنای دیواره‌ها از اهمیت چندانی برخوردار است و می‌تواند دقت قابل قبولی را در نتایج حل به همراه داشته باشد. به‌طور مثال شکل (1) وجود یک‌لایه جامد بین دو شبکه محاسباتی سیال (Fluid Zone) سیال نشان داده‌شده است.

شکل 1– ضخامت بسیار باریک جامد برای یک آنالیز حرارتی

 در نرم‌افزار انسیس فلوئنت به‌صورت خودکار درصورتی‌که ضخامت دیواره یک مدل مش نخورده باشد گزینه هدایت حرارتی پوسته‌ای غیرفعال می‌باشد برای فعال نمودن این بخش لازم است در بخش شرایط مرزی مربوط به دیوار دو پارامتر اصلی جنس ماده (برای تعیین ضریب k) و ضخامت دیواره (برای محاسبه راستای گرادیان) لازم می‌باشد. تنظیمات مربوط به این بخش در شکل (2) نشان داده‌شده است.

شکل 2– نحوه تنظیم گزینه هدایت حرارتی پوسته‌ای برای مرز دیواره در نرم‌افزار فلوئنت

برای فعال نمودن گزینه‌ی هدایت حرارتی پوسته‌ای برای دیواره‌هایی باضخامت غیر صفر می‌توان در بخش کنسول فلوئنت دستور زیر را وارد نمود:

هدایت پوسته‌ای درواقع می‌تواند نقش یک اینرسی حرارتی را برای مدل‌سازی‌ها ایفا کند و نتایج حل را هرچه بیشتر به واقعیت فیزیکی برای مرز جامد و سیال نزدیک نماید. در بسیاری از موارد تصور اشتباه این است که اگر ضریب هدایت حرارتی کوچک باشد می‌توان از این گزینه در مدل‌سازی‌ها صرف‌نظر نمود. این در حالی است که مستقل از مقدار k همواره محاسبه هدایت پوسته‌ای می‌تواند تأثیر به سزایی در نتایج دمای مرز سیال و جامد داشته باشد. این موضوع در شکل (3) به‌خوبی نشان داده‌شده است.

شکل 3– مقایسه اهمیت وجود هدایت حرارتی پوسته‌ای

  صورت فعال نمودن هدایت حرارت پوسته‌ای هنگام پس پردازش روی نتایج همواره این سؤال مطرح است که از کدام دما می‌بایست استفاده نمود چراکه 4 نوع دما می‌توان تعریف نمود.

1. دمای روی صفحه دیواره خارجی (مرز جامد)
2. دمای مرکز المان دیواره خارجی (مرز جامد)
3. دمای روی صفحه دیواره خارجی (مرز سیال)
4. دمای مرکز المان دیواره خارجی (مرز سیال)

در شکل (4) محل ذخیره دماهای ذکرشده در شرایط بالا نشان داده‌شده است.

شکل 4– تقسیم‌بندی خروجی‌های دما هنگام فعال‌سازی هدایت حرارتی پوسته‌ای در نرم‌افزار فلوئنت

لذا کاربر می‌بایست بسته به نیاز خود و صورت‌مسئله‌ی طرح‌شده از بین گزینه‌های بالا انتخاب گزینه‌ی موردنظر را انتخاب نماید. همچنین شایان‌ذکر است که اگر در نرم‌افزار انسیس فلوئنت از گزینه XY-plot استفاده شود تنها دمای مرکز المان دیواره خارجی (مرز جامد) قابل‌استخراج می‌باشد. برای استخراج سایر نتایج می‌توان از ابزار CFD-POST یا توابع UDF کمک گرفت. در نرم‌افزار انسیس فلوئنت شرط مرزی هدایت پوسته‌ای به‌صورت پیش‌فرض از نوع آدیاباتیک می‌باشد اما اگر در مرز المان موردنظر المان دیگری وجود داشته باشد که هدایت پوسته‌ای با تنظیمات متفاوت در آن فعال‌شده باشد شرط مرزی دیگر آدیاباتیک نیست بلکه شرط مرزی رابین یا کوپل (Coupled) در نظر گرفته می‌شود. همچنین اگر المان دیگری باشد که در آن هدایت حرارتی پوسته‌ای مدنظر قرار نگرفته باشد شرط مرزی از نوع دیریکله دما ثابت در نظر گرفته می‌شود. متأسفانه در این نوع آنالیز حرارتی امکان استفاده از گزینه گزارش‌گیری شار حرارتی کلی (Total Heat Flux) وجود ندارد.

علی رقم توانایی بالای نرم‌افزار انسیس فلوئنت در مدل‌سازی هدایت حرارت پوسته‌ای همچنان محدودیت‌های زیادی برای مدل‌سازی این نوع انتقال حرارت وجود دارد که عبارت است از:

• از هدایت حرارتی پوسته‌ای نمی‌توان برای مرزهایی شبکه‌های غیر هم تطابقی (None conformal) استفاده نمود.
• از هدایت حرارتی پوسته‌ای نمی‌توان برای دیواره زون‌های متحرک (Moving wall zones) استفاده نمود.
• هنگام استفاده از هدایت حرارتی پوسته‌ای نمی‌توان از روش مولتی گرید (FMG) مقداردهی اولیه انجام داد.
• از هدایت حرارتی پوسته‌ای نمی‌توان برای مدل‌سازی‌های دوبعدی استفاده نمود.
• از هدایت حرارتی پوسته‌ای نمی‌توان برای مسائل سیالات تراکم پذیر (Density Based solver) استفاده نمود.
• دیواره‌هایی که در آن‌ها هدایت حرارتی پوسته‌ای فعال‌شده‌اند نمی‌توانند ترکیب یا تقسیم شوند. برای اعمال تغییرات روی مرزها می‌بایست ابتدا هدایت حرارتی پوسته‌ای غیر فعال‌شده و پس از اعمال تغییرات موردنظر دوباره آن را فعال نمود.
• در دیواره‌هایی که در آن‌ها هدایت حرارتی پوسته‌ای فعال‌شده باشد امکان استفاده از متدهای تطبیق شبکه یا Adaption (موجود در نرم‌افزار فلوئنت) وجود ندارد. لذا کاربر می‌بایست در صورت نیز به تطبیق شبکه به کمک استفاده از روش Mark register مطمئن شود که از متدهای تطبیق شبکه بر روی هدایت حرارتی پوسته‌ای اعمال نشده باشد.

3- شبکه‌بندی انتقال حرارت هدایت پوسته‌ای

تجربه‌ی کارهای عددی به‌وضوح نشان می‌دهد که در یک دامنه محاسباتی یکسان شبکه‌بندی لازم برای محاسبات سیالاتی بسیار ریزتر از شبکه‌بندی‌های جامداتی می‌باشد. پس سؤال اینجاست که آیا لازم است شبکه‌بندی برای دامنه‌های تحت هدایت حرارت پوسته‌ای که در جامد قرار است عمل نماید به‌اندازه‌ی سیال ریز شود؟ واضح نه! خوشبختانه همچنان می‌توان شبکه جامداتی را درشت مش زده و المان سیال را نیز ریزتر شبکه‌بندی نمود. این موضوع ممکن است در مرز منجر به تولید شبکه‌های تطابقی یا غیر تطابقی (conforming & none-conformal) شود. ازآنجاکه نرم‌افزار انسیس فلوئنت برای مرزهای میانی بین دو ناحیه حل متفاوت (زون‌های متفاوت) در مرز مشترک همواره یک صفحه مجزا برای هر ناحیه تولید می‌کند لذا کاربر می‌بایست تنظیمات این بخش را نیز با دقت مناسب انجام دهد. تنظیمات مربوط به این بخش در شکل (5) نشان داده‌شده است.

شکل 5– تنظیمات مربوط به شبکه‌های مرز هدایت حرارتی پوسته‌ای در نرم‌افزار فلوئنت

4- ضریب هدایت حرارتی ناهمگن (Anisotropic Thermal Conductivity)

همان‌طور که توضیح داده شد انتقال حرارت به‌صورت هدایت حرارتی وابسته به یک ضریب ثابت و گرادیان دما می‌باشد که به ضریب ثابت اصطلاحاً ضریب هدایت حرارتی اطلاق می‌شود. به‌طورکلی این ضریب به عواملی ازجمله دما جنس ماده و… وابسته است. در سیالات به دلیل عدم ترجیح جهت انتقال حرارت این ضریب عموماً ثابت و تنها تابع دما در نظر گرفته می‌شود. به این خاصیت همگن بودن اطلاق می‌شود بدین معنی که در یک سیال کاملاً ساکن که تحت تأثیر هیچ نیرویی قرار ندارد انتقال حرارت در تمام راستا برابر است. علت این موضوع آزادتر بودن پیوندهای مولکولی سیالات می‌باشد که به‌راحتی امکان انتقال خواص اسکالر را فراهم می‌نماید. در جامدات اما چنین موضوعی صادق نیست و بسته به ساختار مولکولی (تراکم یا …) ممکن است در یک جامد ترجیح جهت وجود داشته باشد. به چنین جامداتی اصطلاحاً غیر همگن یا (Anisotropic) اطلاق می‌شود. در نرم‌افزار انسیس فلوئنت به‌طور پیش‌فرض برای تمامی جامدات ماتریس ضریب انتقال حرارت هدایتی همگن و مستقل از جهت تنظیم‌شده است اما در صورت نیاز کاربر می‌تواند آن‌ها به‌صورت دلخواه از بخش جنس مواد (Material) تنظیم نماید که این تنظیمات در شکل (6) نشان داده‌شده است. لازم به ذکر است که در صورت نیاز در نرم‌افزار انسیس فلوئنت ماتریس ضریب هدایت حرارتی به چندین صورت می‌تواند آدرس‌دهی (تکمیل) شود. همچنین در امکان استفاده از توابع UDF نیز امکان‌پذیر می‌باشد.

شکل 6– تنظیمات مربوط به ضریب انتقال حرارت هدایت برای جامدات ناهمگن (Anisotropic Solids) در نرم‌افزار فلوئنت

5- نحوه محاسبه هدایت حرارتی در جامدات متحرک

همان‌طور که توضیح داده شد در جامدات هدایت حرارتی به فرم معادله (1) نوشته می‌شود. حال اگر جامد موردنظر حرکت نیز داشته باشد در دستگاه اولری ترم جابه‌جایی در معادلات ظاهر می‌شود. لازم به ذکر است که اگر از شبکه‌بندی متحرک (Dynamic mesh) استفاده شود ترم جابه‌جایی از معادلات حذف می‌شود. به‌طور مثال اگر در شبکه‌بندی جامد حرکت رفت و برگشتی (Sliding mesh) در نظر گرفته‌شده باشد دیگر لازم نیست جابه‌جایی در معادلات وجود نخواهد داشت. تنظیمات حرکت جامد به‌طور کامل در منو زون قابل‌اعمال است. این حرکات شامل حرکات انتقالی و دورانی می‌باشد.

معادله (4)

برای مدل‌سازی حرکت زون‌های جامد گزینه‌های (MRF) Moving Reference Frame و Mesh Motion (MM) در نظر گرفته‌شده است. به‌طور ساده می‌توان بیان نمود که اگر زون جامد موردبررسی نسبت به حجم محیط خود (Enclosure) در حالت‌های مختلف در حال تغییر باشد استفاده از گزینه MRF توصیه نمی‌شود چراکه اثرات تغییرات هندسی را نمی‌تواند پیش‌بینی کند و MM نتایج صحیح‌تری را عرضه می‌نماید. در سایر حالات اگر جامد محاط شده همواره شکل ثابتی نسبت به حجم محیط خود داشته استفاده از گزینه MRF بلامانع است. در مدل‌سازی هدایت حرارتی علاوه بر در نظر گرفتن شرایط بالا لازم است این موضوع را مدنظر قرارداد که می‌بایست جامد محاط شده نسبت به محیط خود دارای شکل یکسانی از اعمال شرط مرزی برای معادله انرژی را داشته باشد تا بتوان از روش MRF استفاده نمود. در غیر این صورت توصیه می‌شود از روش MM استفاده شود. تنظیمات مربوط به MF و MM در اشکال (7) و (8) نشان داده‌شده است. همچنین شکل (9) جهت نشان دادن اثرات شرط مرزی دمایی در انتخاب مدل آورده شده است. در هر دو شکل دایره‌های محاط شده در گردش هستند که یکی سوراخ‌کاری شده و دیگری سوراخ‌کاری ندارد. شرط مرزی‌ها در هر دو شکل یکسان هستند و تنها تفاوت این است که در شکل سوراخ‌کاری شده مرز سوراخ‌کاری‌ها از نوع آدیاباتیک یا شار حرارتی صفر تنظیم‌شده است. علی رقم مشابهت این دو شکل اما ازآنجاکه در شکل حاوی سوراخ‌کاری با گردش دایره داخلی شرط مرزی اعمال‌شده نسبت به دایره محیطی در حال تغییر است لذا نمی‌توان از MF استفاده نمود. این در حالی است که برای شکل بدون سوراخ‌کاری استفاده از مدل MF بلامانع است.

شکل 7– تنظیمات مربوط به حرکت قاب (Frame Motion) در نرم‌افزار فلوئنت

شکل 8– تنظیمات مربوط به حرکت مش (Mesh Motion) در نرم‌افزار فلوئنت

شکل 9– تنظیمات مربوط به حرکت مش (Mesh Motion) در نرم‌افزار فلوئنت

6- نکات مربوط به همگرایی هدایت حرارتی

به‌طورکلی مشکلات همگرایی به شرایطی اطلاق می‌شود که در آن معادلات نتوانند فیزیک اعمال‌شده را مدل‌سازی نمایند. این مشکلات می‌توانند به هر یک از اشکال زیر خود را نشان دهند:

• بالانس نشدن شارهای حرارتی مرزها
• همگرایی بسیار کند و غیرمنطقی
• واگرا شدن مانده‌ها
• غیر فیزیکی بودن نتایج (دماهای غیرمنطقی)

مشکلات نامبرده شده در بالا می‌توانند دلایل مختلفی داشته باشند. ازجمله مهم‌ترین دلایل می‌توان به موارد زیر اشاره نمود:

• شبکه‌بندی بی‌کیفیت
• شرایط مرزی غیر فیزیکی
• خطای ناشی از گرد کردن (Truncation Error)

برای حل مشکلات بالا راه‌حل‌های متفاوتی وجود دارد که کارآمدترین این روش‌ها افزایش کیفیت شبکه و اصلاح شرط مرزی می‌باشد. همچنین در نرم‌افزار انسیس فلوئنت می‌توان از حل گر دقیق‌تر 16 رقمی (Double Precision) به‌جای حل گر 8 رقمی (Single Precision) استفاده نمود تا از خطای حاصل از گرد کردن نیز جلوگیری شود.

درصورتی‌که از سوی معادلات مومتم قید خاصی بر مسئله حاکم نباشد شرایط زیر برای معادله انرژی می‌تواند نشان‌دهنده نیاز یا نیاز امکان استفاده از حل گر دقت بالا باشد:

• اگر شارهای حرارتی بسیار بزرگ باشند (حدود مگاوات) لازم است حتماً از حل گر دقت بالا استفاده شود.
• چشمه‌های حرارتی بسیار بزرگی در دامنه حل وجود داشته باشد که بسیار حل را تحت تأثیر قرار می‌دهد.
• سیالات متفاوتی در دامنه وجود داشته باشد که خواص هر یک با دیگری متفاوت است (ضریب انتقال حرارتی هدایتی چگالی و…) و یا خواص وابستگی زیادی به کمیت‌های مجهول در دامنه حل (چگالی فشار دما و…) می‌باشد.
• شارهای مرزی (شارهای بین سیال و جامد) در سطح‌های تماسی مقادیری قابل‌توجه هستند و یا کمیت‌های پراهمیتی جهت طراحی سیستم می‌باشند.

7- شتاب‌دهنده‌های حل

استفاده از روش تعامل چند شبکه‌ای (Multi-Grid) یکی از پراهمیت‌ترین روش‌های موجود در حل معادلات حاکم بر سیال خصوصاً برای شبکه‌های پرتراکم می‌باشد. عدم استفاده از این روش می‌توانست حل معادلات را حتی در هندسه‌های مکعبی شکل ساده ساعت‌ها به طول انجامد چراکه با افزایش المان‌ها اطلاعات به‌کندی از مرز به سلول‌های مرکزی انتقال پیدا می‌کرد. روش تعامل چند شبکه‌ای به این‌گونه عمل می‌کند که با انتقال اطلاعات از شبکه ریز به شبکه درشت و بالعکس گردش اطلاعات از مرز به سلول‌های مرکزی به‌سرعت انجام می‌شود و لذا به این صورت حل عددی با سرعت بسیار بالاتری انجام می‌شود. اگر در معادله انرژی ترم مربوط به هدایت حرارتی بر سایر ترم‌ها غلبه داشته باشد می‌توان با تغییر کمی بر تنظیمات بخش تعامل چند شبکه‌ای سرعت حل را بهبود بخشید. به‌طورکلی تنظیم معادله انرژی بر روی الگوریتم Flexible است. این الگوریتم برحسب حرکت مانده‌ها انتخاب می‌کند که آیا از روش تعامل چند شبکه‌ای استفاده نماید یا نه. به‌طورکلی اگر هدایت حرارتی بر سایر ترم‌ها غلبه داشته باشد بهتر است از روش‌های W-cycle برای پردازش مستقیم و V-cycle برای پردازش موازی استفاده نمود. شکل (10) تنظیمات مربوط به این بخش را نشان می‌دهد.

شکل 10– تنظیمات مربوط به روش تعامل چند شبکه‌ای (Multi-Grid) در نرم‌افزار فلوئنت

8- تنظیمات مربوط به ضریب مادون تخفیف (Under-Relaxation) جداگانه برای دما

از ضرایب مادون تخفیف جهت همگرایی معادلات غیرخطی در روش‌های تکرارشونده استفاده می‌شود. انتخاب درست این ضرایب تأثیر انکارناپذیری در همگرایی معادلات مذکور داراست. در نرم‌افزار انسیس فلوئنت طور جداگانه به کمک دستوراتی در کنسول می‌توان برای کمیت دما نیز از ضریب مادون تخفیف بهره‌مند برد.

هنگامی‌که از این دستور در کنسول استفاده می‌شود ضریب مادون تخفیف انرژی به‌عنوان ضریب مادون تخفیف دما استفاده می‌شود که معمولاً بین 0.2 و 0.5 توسط نرم‌افزار انسیس فلوئنت پیشنهادشده است. هدف از این روش همگرایی مسائلی است که در آن‌ها جنس مواد به‌شدت وابسته به دما است و شبکه‌بندی از کیفیت پایینی برخوردار است.

 9- محاسبه گرادیان با مرتبه بالاتر

با توجه به شبکه‌بندی ممکن است از المان‌هایی استفاده‌شده باشد که از کیفیت بالایی برخوردار نیستند. این امر موجب می‌شود که استفاده از روش‌هایی با دقت بالاتر روی این المان‌ها منجر به رخ دادن مشکلات همگرایی شود به همین دلیل فلوئنت توصیه می‌کند برای شبکه‌هایی که معیار کشیدگی المان‌ها (Skewness) به‌خوبی رعایت نشده باشد به کمک دستوراتی در کنسول مراتب بالاتر گرادیان (عمدتاً مرتبه دوم) حذف گردد. دستورات حذف‌ترم مرتبه دوم گرادیان عبارت‌اند از:

حذف‌ترم مرتبه دوم گرادیان برای تمامی زون‌ها:

حذف‌ترم مرتبه دوم گرادیان برای تمامی دیوارها:

حذف‌ترم مرتبه دوم گرادیان برای تمامی دیوارهایی که در آن‌ها هدایت حرارتی پوسته‌ای فعال‌شده باشد: